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微分とは…わかりやすく本質を説明する

微分を勉強し直したい…と考える大人は多いと思う。

微分の知識が、ビジネスなどに役立つ可能性があるためだ。

おそらく、ブログに関するデータについても、微分の知識を用いて分析することができるだろう。

ただ、むずかしい専門用語や数式は勘弁…という人も多いと思う。なので、わかりやすい言葉だけで説明してみたい。一般に、厳密さとわかりやすさはトレードオフになる。本記事ではわかりやすさを優先する(最低限の数学用語は使う)。今回は、「微分」について書いてみたい。

目次

微分とは

微分とは、「超狭い範囲で見て直線近似すること」だ。

微分とはわかりやすく直線近似すること…を表すグラフ

このグラフは、このブログのPVを週単位でプロットしたものだ。

そして、近似直線を引いたものだ。

データのプロットだけではよくわからないので、近似直線を引いてわかりやすくする、全体の傾向を掴もうとする、ということは普通にあると思う。もちろん、単純化する弊害はあるが…。

※直線の方が直感的にわかりやすいのだ。

このグラフでは、「超狭い範囲」では見ていない。約3年(x軸)という広い範囲で見ている。このような広い範囲ではなく、「超狭い範囲で見て直線近似すること」が微分の目的になる。

※「微」細に「分」割して直線にする、でいいのではないだろうか。

接線の傾きになる

微分係数は接線の傾きを表す。

微分係数とは何?という話になると思うが、特定の地点の微分値、ということでいいだろう。

ではなぜ、接線の傾きを求める必要があるのか…という問題だが、

ぐねっているものを直線にして見たいから(直線というわかりやすい形で見たいから)…ということになる。傾きがわかれば、上昇傾向にあるのか下降傾向にあるのか、程度はどれぐらいなのか…ということがひと目でわかる。直線にすることで、わかりやすくなるのだ。

※未来を予測するものではない。上のグラフを見てわかるように、微分係数から長期的な予想をすることは不可能だ。短期であれば、その時点の傾向からある程度の予測は可能かもしれない。

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微分を俯瞰すると

微分を俯瞰すると、「平均変化率 ⇒(極限)⇒ 微分係数導関数」という形が見えてくる。

導関数微分係数を一般化したもの。

平均変化率の期間のとり方は自由だ。どの部分を切り取ってもいいし、切り取る長さも自由にしていい。

そこに極限という考え方を入れ特定の地点の変化率をとれば、それが微分係数になる。自由なレンジで考え平均変化率を求めるということではなく、点で考え微分係数を求めるということだ。

※「平均変化率」も「微分係数」も直線の傾きを表す。

微分係数を求める ⇒ 瞬間を切り取る

微分係数を求めることは、特定の瞬間を切り取り情報を得る…というイメージだ。

限りなく高速のシャッターで一瞬のシーンを切り取り、情報を得るという印象になる。

一瞬のシーンを切り取れば、見えにくいものも見えてくる。たとえば、距離の関数からその時点の速度を求めることができるし、速度の関数からその時点の加速度を求めることができるのだ。

微分するとは

微分するとは、「導関数」を求めることだ。

導関数の説明変数に特定の値を入れることで、その地点の微分係数を求めることができる。なので、導関数から微分係数を求めることが多いと思うが、微分係数を一般化したものが導関数である。※いちいち微分係数を求めることは面倒だ(導関数を使って求める方が楽になる)。

微分を何に使うのか

最後に、「微分は何に使うのか」ということを考えてみよう。

「株価が上昇しています」とひと口に言いますが、数学的な表現では3パターンくらいあります。比例的に上がるのか、加速的に上がるのか、減速的に上がるのかという話なんですね。この3つがありますと。じゃあ、こういう上がり方を深く観察するためにどうしたらいいだろうということで微分が必要とされるわけです
出典:待てよ、とうとうちょっとついていけなくなった(笑) - 日経トレンディネット

この場合は、上がる速度や加速度を調べることで、上がり方を分類できそうだ。

もちろん、直感的にもある程度はわかるのだが、微分を使うことでより正確に現状を把握することができる。わたしも微分の知識を利用して、経済指標をウオッチしている(役立っている)。

また、数値化できるので、プログラミングも容易になるだろう。

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微分とは…わかりやすく説明する - サマリー

まとめ

今回は、微分について書いてみた。

今回の記事で書いたのは、1)微分とは、2)微分係数は接線の傾きを表す、3)微分を俯瞰すると、4)瞬間を切り取ることに等しい、5)微分するとは、6)何に使うのか、の6つになる。

微分の知識が、ビジネスなどに役立つ可能性があると思う。

※そのためにはまず、微分の本質を理解することが必要になるだろう。

冒頭で書いたが、ブログに関するデータについても、微分の知識を用いて分析することができるだろう。わたしは、ブログのデータについてはまだできていない(笑)。今後の課題にしたい。

今回の記事:「微分とは…わかりやすく本質を説明する」

参考文献:使い道がわかる微分積分 (著)池松翔太